满足（1+1/n）^n<n的正整数n的范围

设0<a<b 则对于任一正整数n，有
b^(n+1)<b^(n+1)+b^n*a
即 b^(n+1)<b^n(b+a)
因为b^(n+1)-a^(n+1)<b^(n+1)
b^n(b+a)<(n+1)b^n(b+a)
所以由以上三式得：b^(n+1)-a^(n+1)<(n+1)b^n(b+a)
整理后：a^(n+1)>b^n[(n+1)a-nb] ——（1）
设 a=1+1/(n+1) , b=1+1/n 并带入上式中括号内：
(n+1)a-nb=(n+1)[1+1/(n+1)]-n(1+1/n)=1
所以（1）式化简为：
[1+1/(n+1)]^(n+1)>(1+1/n)^n
所以有：y=(1/1+1/n) 是单调递增函数。
又设a=1,b=1+1/(2n) 带入（1）得：
(n+1)a-nb=(n+1)-n[1+1/(2n)]=1/2
故有：1>[1+1/(2n)]/2
所以 1＋[1+1/(2n)]^2n<4
所以 (1+1/n)^n 是有界的，即是收敛的
把1、2、3……代入原式可知：
当n≥3时原式成立，又函数递增
所以 正整数n取值[3,＋∞)

注：以上是高中知识，高等数学里有 （1＋1/x)当x趋向无穷大时式子＝常数e,直接验证一下1，2，...就可以了，比较简单

用二项式定理将(1+1/n)^n展开可以证明(1+1/n)^n＜3，所以满足（1+1/n）^n<n的正整数n取值是[3,＋∞).

n>3:
(1+1/n)^n = 1 + 1 + (n-1)/(2!n) + (n-1)(n-2)/(3!n^2) + ...
< 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ...
< 1 + 1 + 1/(2*1) + 1/(3*2) + ...